Aşağıdaki yazıWillard Van Orman Quine‘in The Ways of Paradox and Other Essays isimli kitabının ilk bölümünü okurken aldığım notlardır.

Frederic, 21 yaşına bastığı zaman sadece beş kere doğum gününü kutlamıştı. Evet, çünkü doğum günü 29 Şubattaydı. Doğum gününü sadece beş kere görmüş olmasına rağmen 21 yaşında olması ilk başta şaşırtıcı görünüyor. Biraz daha karmaşık bir örnek olarak ise berber paradoksunu ele alabiliriz: Bir berber, sadece, kasabadaki kendini tıraş etmeyen erkekleri tıraş eder. Peki ya kendisi?

Bu iki paradoksu karşılaştıralım. 29 Şubat paradoksunun ilk başta ilginç gelmesine rağmen, basit bir delil ile durumu açıklığa kavuşturabiliriz. Berber örneğinde ise durum biraz daha karışık. Aslında tüm mesele varsayımlarımızda: sadece kendini tıraş etmeyen erkekleri tıraş eden berber. Bu varsayım “Bir berber kendisini ancak ve ancak tıraş etmezse, tıraş eder” ifadesini söylemek gibi. Aslında böyle bir berber yok/olamaz diyerek durumu açıklığa kavuşturabiliriz. Bu düşünme biçimi, mantıkçıların reductio ad absurdum (Üçüncü olanağın dışlanması kanunu) olarak bin yıl önce tanımladıkları bir ispat yöntemi. Bir şeyin yanlışlığını o şeyin doğru olduğu varsayımı kullanarak aksini kanıtlamak…Yani böyle bir berber yok, çünkü varsaydığımız zaman ortaya çelişki çıkıyor.

Burada yazar paradoksları ikiye ayırıyor:

1. Veridical Paradoxes (Gerçeğe Uygun Paradokslar)
2. Falsidical Paradoxes or Fallacy (Yanılgıya Dayalı Paradokslar ya da Yanılgı)

Eğer Frederic’in 29 şubatta doğduğunu ve onun $ 4n$ yaşındayken sadece $ n $ kere doğum gününü kutlayabileceğini; berber paradoksunda da bu berberin olamayacağını bilirsek o zaman bunlar gerçeğe uygun paradokslar olur.

Fallacy(Yanılgı) diye adlandırılan ve Quine’nin aslında paradoks dahi olamayacağını söylediği ikinci kategori için ise şu örnek verilebilir:

olsun. İki tarafı da x ile çarparsak:

İki taraftan da 1 çıkarırsak:

İki tarafı da $x - 1$ ifadesine bölersek:

$x = 1$ olduğu için:

Burada sorunun kaynağı aslında $ x - 1 $ ifadesinin sıfır olması ve bizim bu ifadeyi kullanarak $\frac{0}{0}$ işlemi yapmaya çalışmamız. Bu tabi ki matematiksel bir hata. Yani ortada paradokstan ziyade bir yanılgı (fallacy) var.

Grelling’in Paradoksu

Grelling tüm sıfatları heterological ve autological olarak sınıflıyor. Autological olan sıfatlar kendi kendilerini açıklayabilen, heterological sıfatlar da açıklayamayan sıfatlar. Autological’a örnek olarak:

• ” kısadır.
• “Türkçe” Türkçedir.

Heterological Örnekleri:

• “uzun” uzun bir sıfat değildir.
• “tek heceli” tek heceli değildir.

Aslında hem heterological hem de homologicalda birer sıfattır. Peki heterological sıfatı autological mıdır yoksa heterological mıdır?

• ““heterological” autological’dır.”dersek ve bu doğru olursa o zaman “”heterological” heterological’dır” demek durumunda kalırız.
• Eğer “”heterological”heterological’dır” dersek ve bunun doğru olduğunu kabul edersek aslında bu sıfat autological olmuş olur.

Bu örnek yukarıda bahsettiğimiz iki paradoks türüne de girmiyor. Burada antinomy yani çatışkı dediğimiz üçüncü tip paradokslarla karşılaşıyoruz: İki yasanın ya gerçekte ya da görünüşte birbirine uymaması durumunda ortaya çıkan paradokslar:

• Giritli filozof Epimenides: Tüm Giritliler yalancıdır.
• Pseudomenon (Yalancı paradoksu):
  • “Ben yalan söylüyorum”
  • “Bu cümle yanlıştır.”
• “En az 30 kelime ile ifade edilebilecek en küçük tam sayı.”: aslında bu sayıyı 11 kelime ile ifade edebiliyoruz. Böyle bir sayı var mı?

Gibi pek çok çatışkıdan kurtulmaya çalışan Russel ve Tarski’nin açıklamasına göz atabiliriz. Biz “kısa” ve “uzun” sıfatlarının birbirleri için doğru veya yanlış olup olmadıklarını sorabiliriz ve cevap evet ya da hayırdır. Yani “uzun” “kısa” mıdır sorusuna evet ya da hayır diyebiliriz ama eğer farklı düzeylerden bir anlam içermiyorlarsa ““uzun” uzun mudur?” sorusu anlamsız bir sorudur. Yani Russel’a göre “kendine göndergeli” ifadeler anlamsızdır.

Veridical paradokslar içinde bir sürpriz barındırır ama bu sürpriz biz bir açıklama getirdiğimizde kaybolur. Bir Falsidical Paradoks (fallacy)da bir sürpriz barındırır ama yanılgımız ortaya çıkınca yanlış alarm verildiğini anlarız. Çatışkılar(antinomies) ise içinde bizim kavram hazinemizden bir parçayı reddetmeden çözemeyeceğimiz paradokslardır.

Teknolojinin ve bilimin gelişmesi bu yönde bize bir ölçüde yardımcı olabilir. Kopernik sisteminin kabulü, ardından Newton fiziği ve ardından Özel Görelilik… Bir zamanlar insanlar dünyanın güneş etrafında dönmesini “Kopernik Paradoksu” olarak adlandırmışlardı, onu kabul edenler dahi. Şimdi ise bunlara paradoks denmesi bizim için oldukça gülünç.

Russel’ın Çatışkısı

Bilinen tüm çatışkılar arasında en meşhuru Russel’ın (self-membership) kümeleridir. Bazı kümeler kendilerinin de üyesidir. Mesela beşten fazla elemanı olan tüm kümelerin kümesi. Bu küme aynı zamanda kendisini de içinde barındıracaktır. Ama dünyadaki tüm adamların olduğu küme kendisinin üyesi değildir. Kendi tanımı, onu kendi elemanı olmasını zorunlu kılmaz.

Peki, elemanlarından birisinin kendisi olmayan tüm kümelerin bulunduğu küme hakkında ne diyebiliriz?

Bu küme’nin elemanlarından birisinin kendisi olmadığını varsayalım. Bu durumda bu küme elemanı kendisi olmayan kümelerden birisi olacağı için, aslında küme’in elemanı olmuş olur. Eğer küme’in elemanı ise bu durumda kendisini içeren bir kümedir deriz. Böylece aslında küme’in kendisini içeren bir küme olduğunu kabul etmek durumunda kalırız. Başta böyle olmadığını varsaymıştık halbuki…

Russel’ın çatışkısındaki iki ana unsur “üyelik” ve “kümeler”. Bunlar “doğru” ve “yanlış”tan biraz daha farklı tanımlar. Peki burada berber paradoksundan farklı olan ne? Biz böyle bir berberin olamayacağını söyleyerek (Veridical paradoks) işin içinden çıkmıştık. Burada neden böyle bir küme olamayacağını söyleyemiyoruz? Bizi, bu kümeyi kurmaktan alıkoyan şey ne? O zaman bu bir çatışkı değil de bir Veridical paradoks mudur?

Matematik kümeleri, matematiğin birçok dalında ‘yedek’ bir düşünme biçimi olarak kullanılıyor. Bu şekilde matematiksel düşünme biçimini daha net bir şekilde açıklama fırsatı buluyoruz. Berberin olamayacağını kabul etmek çok basit bir mevzu iken, bu kümenin olamayacağını söylemek matematik kümelerinin varlığını tehdit ediyor.

Kendine göndergeli (self-membered) kümeleri ele aldığımız zaman bu tarz sorunlarla karşılaşıyoruz. Üyelik şartlarının tanımlandığı kümeleri yasaklarsak, yani böyle kümelerin olamayacağını söylersek ne olur peki? Kümeleri kullanan tüm matematik branşları bu kısıtlama ile kümeleri kullanmaya devam edebilir.

Kümelerin Matematiği

Kümeler, matematiğin özellikle bir branşının özel ilgisi: Genel Kümeler Kuramı. Kümelerin kümesi, kümelerin kümesinin kümesi… Genel kümeler kuramı paradokslar bakımından oldukça zengindir.

Georg Cantor, genel kümeler kuramının öncüsü, şeylerin her zaman kendisinden daha fazla kümesi olduğunu ispatlamıştır. Örneğin: tam sayılar gerçel sayıların bir kümesi olarak görülürse her ikisi de sonsuz da olsa gerçel sayılar kümesi daha büyüktür. Daha basit bir şekilde şöyle de düşünebiliriz: Her zaman ineklerden daha fazla sayıda ineklerle alakalı küme vardır. Cantor’un kuramı sadece inekler ve onların kümeleri hakkında değil, aynı zamanda her çeşit şey ve tüm şeylerin kümeleri hakkında bir kuram. Yani kümeler hakkında bir şey söylendiği zaman diğer şeylerle de bir ortak küme olması söz konusu.

Bu noktaya kadar bir çatışkı değil, sadece ürkütücü bir iddia var. Her şeyden daha büyük bir küme varsa o zaman her şey kümesi hakkında ne diyeceğiz? İşte çatışkı ile bu noktada karşılaşıyoruz.

Bu teoremin sağlam durabilmesi için Russel’ın çatışkısında ortaya koyduğumuz kısıtlamayı biraz yumuşatmamız gerekir. Eğer üyelik koşullarından bahsetme kısıtını koyarsak Cantor’un kuramını yok sayarız. Koymazsak da hem Russel’ın hem de Canton’un çatışkısı ile uğramak durumunda kalırız.

Koyulabilecek her kısıt sistemin doğallığını ve işleyişini bozuyor. Beraberinde başka çatışkılar doğuruyor. Quine bu sorunların genel kümeler kuramında 60 yıl önce(1987’de diyor bunu) başladığını ve hala çözülemediğini belirtiyor. Bunun çatışkıların keşfedilmesinin bir sonucu olduğunu belirtiyor.

Gödel’in Kanıtı

Gödel, aksiyomlarla kurulan hiçbir çıkarımsal sistemin, tüm teoremlerini kuşatamayacağını, her zaman ispatlanamayan bir kısmının olabileceğini kabul etmek zorunda kaldığımızı göstermiştir (Eksiklik Teoremi).

Bunun paradokslarla alakası ne? Eğer paradoks sistemlerini kendi sistemi içerisinde düşünürsek bazı noktaların eksik kalması gerekir, yani doğruluğunu veya yanlışlığını bilemeyiz. Bu yüzden bazı önermelerimiz teorem değildir, onlara yanlış veya doğru diyemeyiz. Aslında doğru olsalar da…